matematica
Nel mio post precedente, ho lanciato a tutti i lettori un rompicapo matematico. Permettetemi di ricordarvi di che si trattava:
Usando +, -, x, ÷ e (), bisogna creare una sequenza che porti a 2017 usando i numeri che vanno dal 10 a 1.
Questo era un compito abbastanza semplice, ma l’abbiamo reso più difficile.
E se usassimo solo i numeri da 9 a 1 per arrivare a 2017? E da 7 a 1? E se restringessimo il campo solo a 1?
Ancor prima di finire di pronunciare la parola “matematica”, avevo già risposto alle persone iscritte al nostro Fan Club! Alcune di loro erano estremamente interessanti (tenete presente che ci sono diversi modi per arrivare alla stessa risposta), mentre altre proposte non erano così interessanti ed eleganti il che, beh… mi ha portato a condividere con voi solo alcune di loro…
— 10 —
Ecco qui le soluzioni più eleganti:
10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 5 / (4 – 3 + 2) + 1 = 2017
10 * 9 * 8 * (7 – 6) / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * (6 – 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 * 1 = 2017
(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017
Se usiamo i numeri dieci, dovreste arrivare alla soluzione in un modo simile a questo, ma magari è meno elegante (io ho pensato a questa, e ci sono arrivato in soli 10 minuti J ):
((10 + (987) + (6 + 5) * (4 – 3)) * 2) + 1 = 2017
A.B., un collega la scrivania fa angolo con il mio ufficio nella nostra sede principale, è riuscito persino ad arrivare alla soluzione usando i simboli delle divisioni ( / ). Ok, quindi, in questo modo, si trasformano numeri interi in frazioni, ma… perché no?
10 * 9 * 8 * 7 / ((6 * 5) / 4) – 3 – 2) + 1 = 2017
Qui altre sequenze matematiche eleganti:
10 – (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 – (3 + 2)) – 1)))) = 2017
(10 – 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 – 3)) + 2 – 1))) = 2017
— 9 —
Ora, eliminiamo il “10”. A prima vista potrebbe sembrare che questo renda il compito molto più difficile. Comunque, si può arrivare alla soluzione in pochi minuti. Date un’occhiata qui:
9 * 8 * 7 * 6 * (5 – 4) / 3 * 2 + 1 = 2017
9 + 8 * ((7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2) – 1) = 2017
9 * 8 * 7 * (6 – 5 + 4 – 3) * 2 + 1 = 2017
Anche A.B. è riuscito a ottenere una variante, per così dire, “tagliente”:
9 * 8 * 7 * 6 / (((5 + 4) / 3) / 2) + 1 = 2017
Sempre sullo stesso genere, ecco un’altra variante:
9 * (8 – ((7 – 6) * (5 – 4))) * (32) + 1 = 2017
— 8 —
Includendo i numeri dall’1 all’8, l’operazione è sorprendentemente più facile rispetto ai due casi precedenti:
8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 +1 = 2017
8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017
8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 – 3) + (2 – 1) = 2017
8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017
Aritmetica traballante:
(8 – 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017
— 7 & 6 —
Se usiamo solo i numeri dall’1 al 6 o dal’1 al 7, un fattoriale sarebbe necessario. Non potrei arrivare a 2017 senza di esso:
7 * (6 – 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
6! / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
7 – 6 – 5! – 4! + 3 * ((2+1)!)!
7 + (6! – 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
7 – (6 – 5!) * 4! – (3!)! – (2+1)!
7! – 6! / 5 – 4 * (3!)! + 2-1
7! – (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!
6! – 5! – 4! + (3!)! * 2 + 1
(6 + 5!) * 4! / 3 * 2 + 1
(6! / 5 + 4!) * 3! * 2 + 1
Altre varianti?
— 5 —
Soluzione traballante:
/5 * (4 + 3)! * 2 + 1
Questa è più elegante ma ha bisogno di una radice quadrata:
((( 5 – √4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.
— 4 —
(Fino a che punto ti vuoi spingere?!)
[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017
Dove # è un primoriale e !!!! e !!!!! sono primi primoriali.
Bravo! Davvero ben fatto, complimenti! Non avevo mai visto quel genere di numeri prima! Non ce li insegnano, a dire il vero!
Ecco qui un paio di soluzioni extra:
((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017
Dovrebbero funzionare così:
4!=1*2*3*4=24
24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3!=6
168*6*2+1=2016+1=2017
Soluzione estremamente elegante.
Eccone un’altra dove sf(n) è un superfattoriale:
sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017
dove:
sf(4)=1!*2!*3!*4!=288
3!=3*2*1=6
!2=1
— 3 —
Ma non finisce qui la storia! Stiamo per ottenere 2017 con soli 3, 2 e 1, e basta. Se dico sul serio? Certo!
Per farlo abbiamo bisogno di:
L(n)- un numero di Leonardo
!n – un subfattoriale
n!! – un primo primoriale
Mettiamoci all’opera!
1 + 2 = 3.
L(3) = 5.
5!! = 15.
L(15) = 1973.
!5 = 44.
L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017
Veloce e facile 😉
— 2 —
Solo 2 e 1, ebbene sì. Ma come possiamo arrivare al numero 2017 con soli 2 e 1? Stregoneria? ‘2 1 = 2017’… Che tipo di magia nera matematica dobbiamo applicare?
Per questo compito abbiamo bisogno:
della successione di Fibonacci F(n) e un numero di Fermat Fm(n)
il che ci porta al compito precedente (3, 2, 1 -> 2017):
F(2) = 1 (oppure possiamo usare un subfattoriale !2=1).
Fm(1) = 3.
2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
L( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = … lo sapete, vero? 🙂
oppure
L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.
Ma cari amici, una cosa non esiste fino a quando non viene creata! E quel tunnel ha iniziato a prender forma quando non ho iniziato a condividete questa idea con alcuni colleghi. Uno di loro ha risposto con la trigonometria e lo spieghiamo qualche linea sotto.
Pronti? Ancora non ci credete? Aprite bene gli occhi e preparatevi a sorprendervi perché è possibile! Un WOW per Maxim Yurchuk che è giunto a questa soluzione matematica.
— 1 —
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg … ctg arctg sin arcctg 1 (ripetere la funzione ctg arctg sin arcctg 2017^2 -1 volte) = 2017.
E qui la prova:
sin t = 1/sqrt(1+ ctg^2(t)),
traduciamo le due funzioni di destra e otteniamo:
sin arcctg s = 1/sqrt(1 + s^2)
Usando ctg arctg (s) = 1/s, otteniamo:
ctg arctg sin arcctg s = sqrt(1 + s^2)
Usando la stessa logica, possiamo essere sicuri che queste quattro funzioni, doppie, ci portano a:
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2)
Usando il principio di induzione matematica, possiamo provare:
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)
dove ctg arctg sin arcctg ripetuto n volte.
Poi sostituiamo s con 1 e otteniamo:
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)
dove ctg arctg sin arcctg si ripete n volte.
Ripetete queste quattro funzioni 2017^2-1 volte (per esempio, n = 2017^2-1), e questo ci porta a:
sqrt(2017^2-1 + 1^2) = sqrt(2017^2) = 2017.
Bingo!
Altre prove (più ‘illustrative’):
Ora mostriamo ctg arctg sin arcctg Vn = V(n+1).
La foto qui sotto ci aiuta a fare luce sul problema: la cotangente dell’angolo AOB è uguale a Vn, cioè OB / AB = V(1-x^2) / x = Vn. Pertanto, abbiamo bisogno di calcolare la cotangente dell’angolo COD considerando che AB = CD = x. Questa cotangente è uguale a OD/CD = 1/x. Questo ci porta a 1/x = V(n+1) perché (1 – x^2) / x^2 = n.
— 0 —
Ciliegina sulla torta, da zero a 2017. Questa volta è facile:
cos(0)=1
Poi ritorniamo al punto precedente.
— Bonus Track —
Cerchiamo di portar avanti i calcoli in qualche modo.
Che ne dite di ottenere 2017 da i l’unità immaginaria (non dimenticatevi di cliccare sul link dato che si tratta di una i molto interessante)? E perché non trasformare 2017 in una Costante di Planck? O la massa di un elettrone, in unità atomiche? Oppure in percentuale (%) dell’IVA sulle operazioni di export… in breve, l’oceano delle possibilità della matematica nella sfera fisica, sociale ed economica è assolutamente illimitato. Fatevi avanti, provateci!
C’è ancora tempo prima della fine dell’anno, che è quando dovremmo rifare i calcoli per il 2018 😉
Consigli